Figura dinamica
Muovi i punti blu e osserva che al variare di $a$ e $b$ resta vero che:
$A_{ABCD} = \overline{AD}^2 = (a+b)^2$.
Le aree delle parti che costituiscono $ABCD$ sono:
  • $a^2$ (quadrato giallo),
  • $2ab$ (due rettangoli verdi),
  • $b^2$ (quadrato azzurro).
Quindi:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
Calcoliamo i quadrati
Calcoliamo i seguenti quadrati di binomio, applicando
$(\color{blue}A+\color{green}B)^2 = \color{blue}A^2 + 2\color{blue}A\color{green}B + \color{green}B^2$.
$(\color{blue}{7a} + \color{green}{3b})^2 = $
$(\color{blue}{7a})^2 + 2 \cdot \color{blue}{7a} \cdot \color{green}{3b} + (\color{green}{3b})^2 =$
$49a^2 + 42ab + 9b^2 $
$(x^3 - 5)^2 = [\color{blue}{x^3} + (\color{green}{-5})]^2 =$
$(\color{blue}{x^3})^2 + 2 \cdot \color{blue}{x^3} \cdot (\color{green}{-5}) + (\color{green}{-5})^2 =$
$x^6 - 10x^3 + 25 $
$(\color{blue}{-a} \color{green}{-1})^2 =$
$(\color{blue}{-a})^2 + 2 \cdot (\color{blue}{-a}) \cdot (\color{green}{-1}) + (\color{green}{-1})^2 = $
$a^2 + 2a + 1$
Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del:
  • quadrato del primo termine;
  • doppio prodotto dei due termini;
  • quadrato del secondo termine.
$\normalsize{(\color{blue}{A}+ \color{green}{B})^2 = \color{blue}{A}^2 + 2\color{blue}{A}\color{green}{B} + \color{green}{B}^2}$

 
Un problema geometrico
Nel quadrato $ABCD$, di lato $6a$, prolunghiamo $AB$ e $AD$ di due segmenti di misura $\overline{EB} = \overline{DG} = x$.
Quale polinomio esprime l'area del quadrato $AEFG$?
Completa e verifica.
$A_{AEFG} = \overline{AG}^2 ~=$ $~($
$6a + 1~$
$6a + x~$
$6 + x~$
$)^2 =$
$~~~~~~~~~~~~~~~$
$36a^2~$
$36~$
$a^2~$
$+$
$ax~$
$6ax~$
$12ax~$
$ + ~x^2$
Calcola i quadrati
Completa e verifica.
$ (3+7x)^2 ~= ~$
$9~ +$
$42x$
$21x$
$21x^2$
$ + $
$49x$
$7x^2$
$49x^2$
$ (x^3~-~1)^2 = ~$
$x^5$
$x^6$
$x^9$
$-~x^3$
$+~2x^3$
$-~2x^3$
$ + ~1 $
$ \left( -a~ -~b^5 \right)^2 = $
$~a^2$
$-~2ab^5$
$+~2ab^5$
$+~ab^5$
$+~b^7$
$+~b^{10}$
$+~b^{25}$
Completa i quadrati
Completa e verifica.
$($
$y^5$
$y^8$
$y^2$
$ + $
$50$
$20$
$10$
$)^2 ~=~ $
$ y^{10} ~+ $
$2y^5$
$20y^5$
$10y^2$
$ + ~100 $
$ ( 8a ~- $
$x^4$
$x^2$
$x^3$
$)^2 ~= ~$
$16a^2$
$64a^2$
$8a^2$
$-~8ax$
$+~16ax^3$
$-~16ax^3$
$ + ~x^6 $
$ ( 5 $
$-~3x^2$
$-~15x^2$
$+~3x^2$
$)^2 ~=~ $
$25x^2$
$10$
$25$
$ -~30x^2 $
$-~9x^4$
$+~6x^2$
$+~9x^4$