Rette parallele e due trasversali
Figura dinamica
Le rette $a$, $b$, $c$, $d$ sono parallele.
Muovi il punto blu e osserva che al variare della distanza di $C$ da $D$ non varia una proprietà: ai segmenti congruenti $AB$ e $CD$ su $r$ corrispondono segmenti congruenti $A'B'$ e $C'D'$ su $r'$.
Una parallela nel triangolo
Figura dinamica
Muovi i punti $\boldsymbol{D}$ ed $\boldsymbol{E}$ in modo che $D$ sia punto medio di $AC$ ed $E$ di $BC$.
Verifica che gli angoli $D\hat AB$ e $C\hat DE$, corrispondenti rispetto alla trasversale $AC$, diventano congruenti, quindi $DE \parallel AB$. Inoltre, il segmento $DE$ diventa congruente alla metà di $AB$.
Una parallela nel trapezio
Figura dinamica
Muovi i punti $E$ ed $F$ in modo che $E$ sia punto medio di $AB$ ed $F$ di $CD$.
Verifica che gli angoli $A\hat EF$ ed $E\hat BC$, corrispondenti rispetto alla trasversale $AB$, diventano congruenti, quindi $EF \parallel BC \parallel AD$.
Inoltre, diventa:
$EF \cong \dfrac{1}{2}(AD + BC)$.
Rette parallele e due trasversali
Ipotesi:   $a \parallel b \parallel c \parallel d$
  $AB \cong CD$
Tesi:   $A'B' \cong C'D'$

Teorema di Talete dei segmenti congruenti
In un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull'altra.
Una parallela nel triangolo
Ipotesi:   $AD \cong DC$
  $BE \cong EC$
Tesi:   $DE \parallel AB$
  $DE \cong \dfrac{1}{2}AB$

Il segmento con estremi nei punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
Una parallela nel trapezio
Ipotesi:   $ABCD$ trapezio
  $AE \cong EB$
  $DF \cong FC$
Tesi:   $EF \parallel AD \parallel BC$
  $EF \cong \dfrac{1}{2}(AD + BC)$

Il segmento con estremi nei punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallelo alle basi e congruente a metà della loro somma.
Una parallela nel triangolo
Nel triangolo $ABC$, $AB=10$ cm, $BC=6$ cm e $AC=6$ cm. $M$ e $N$ sono i punti medi dei lati $AC$ e $BC$ rispettivamente.
Dimostra che $ABNM$ è un trapezio isoscele e determina le lunghezze dei quattro lati.

Completa e verifica.

I punti $M$ e $N$ sono punti medi di due lati del triangolo $ABC$, quindi $MN$ è parallela al terzo lato $AB$ e $AMNB$ è un trapezio.
$AC \cong $
$AB$
$MN$
$BC$
 perché hanno la stessa lunghezza, $6$ cm, quindi $ABC$ è un triangolo isoscele e ha angoli alla base congruenti: $\hat A \cong \hat B$.
Allora il trapezio $AMNB$ è isoscele perché i due angoli adiacenti a una base sono congruenti.
$AM = NB = $
$3$
$4$
$5$
cm perché $M$ e $N$ sono i punti medi di $AC$ e $BC$.
$MN =$
$3$
$4$
$5$
cm perché $MN$ è congruente alla metà di $AB$.
Una parallela nel trapezio
Nel trapezio $ABCD$ i punti medi dei lati obliqui $AB$ e $CD$ sono rispettivamente $M$ e $N$. Sai che $AM = 2$ cm, $MN = 6,5$ cm, $ND = 2,5$ cm e $AD = 10$ cm.
Determina le lunghezze dei lati di $ABCD$.
Completa e verifica.

$AB = $
$2$
$3$
$4$
cm perché $M$ è il punto medio di $AB$.
$CD = $
$5$
$4$
$3$
cm perché $N$ è il punto medio di $CD$.
$AD + BC =$
$12$
$13$
$14$
cm perché $MN$ è congruente alla metà della somma delle basi, quindi:
$BC = (13-10) $ cm $=$ $3$ cm.