Con un radicale cubico
Concludiamo l'esame, iniziato con altre due Attività interattive, dei casi possibili di disequazioni irrazionali elementari analizzando un esempio di disequazione con un radicale cubico.

Risolviamo la disequazione
$\sqrt[3]{x^2 + 2x - 42} \le -3$.

$\sqrt[3]{x^2 + 2x - 42} \le -3$
$x^2 + 2x - 42 \le (-3)^3$
$x^2 + 2x - 15 \le 0$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$x = -1 \pm \sqrt{1 + 15}$
$x_1 = -5$, $x_2 = 3$.
La disequazione ha per soluzioni
$\boldsymbol{-5 \le x \le 3}$.

  1. Eleviamo al cubo entrambi i membri. L'indice $3$ è dispari, quindi il verso della disequazione non cambia.
  2. Risolviamo l'equazione associata.
  3. Concludiamo.
Con due radicali
Risolviamo la disequazione
$\sqrt{3x^2 - 4x} - \sqrt{x + 2} \le 0$.

$\sqrt{3x^2 - 4x} - \sqrt{x + 2} \le 0$ $~\to~$
$\sqrt{3x^2 - 4x} \le \sqrt{x + 2}$
$\sqrt{3x^2 - 4x} \le \sqrt{x + 2}$ è equivalente al sistema:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x^2 - 4x \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \\ (\sqrt{3x^2 - 4x})^2 \le (\sqrt{x + 2})^2 \end{array} \right. . $
$ \left\{ \begin{array}{l} x(3x - 4) \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \\ 3x^2 - 4x \le x + 2 \end{array} \right. \to$ $ \left\{ \begin{array}{l} x \le 0 \lor x \ge \dfrac{4}{3} \\ x \ge -2 \\ 3x^2 - 5x -2 \le 0 \end{array} \right. \to $ $ \left\{ \begin{array}{l} x \le 0 \lor x \ge \dfrac{4}{3} \\ x \ge -2 \\ -\dfrac{1}{3} \le x \le 2 \end{array} \right. $
Le soluzioni del sistema, e quindi della disequazione irrazionale data, sono:
$-\dfrac{1}{3} \le x \le 0 ~~\lor~~ \dfrac{4}{3} \le x \le 2$.

  1. Portiamo un radicale a secondo membro in modo da avere due radici isolate.
  2. Imponiamo le C.E. dei due radicali ed eleviamo al quadrato i due membri.
  3. Risolviamo le disequazioni che compongono il sistema.
  4. Costruiamo lo schema delle soluzioni e concludiamo.
$\sqrt{A(x)} < B(x)$
La disequazione irrazionale $\boldsymbol{ \sqrt{A(x)} < B(x) }$ è equivalente al seguente sistema.
$ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{ A(x) \ge 0 } \\ \boldsymbol{ B(x) > 0 } \\ \boldsymbol{ A(x) < B^2(x) } \end{array} \right. $
$\sqrt{A(x)} \le B(x)$
La disequazione $\boldsymbol{ \sqrt{A(x)} \le B(x) }$ è equivalente al seguente sistema.
$ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{ A(x) \ge 0 } \\ \boldsymbol{ B(x) \ge 0 } \\ \boldsymbol{ A(x) \le B^2(x) } \end{array} \right. $
$\sqrt{A(x)} > B(x)$
Le soluzioni della disequazione
$\boldsymbol{ \sqrt{A(x)} > B(x) }$
si ottengono dall'unione delle soluzioni di due sistemi.
$ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{ A(x) \ge 0 } \\ \boldsymbol{ B(x) < 0 } \end{array} \right. $ $\boldsymbol{ \lor }$ $ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{ B(x) \ge 0 } \\ \boldsymbol{ A(x) > B^2(x) } \end{array} \right. $
Disequazioni con radicali di indice dispari
  • Per risolvere una disequazione contenente solo radicali di indice $n$ dispari, eliminiamo i radicali elevando alla potenza $n$-esima entrambi i membri.
  • Nella disequazione ottenuta lasciamo lo stesso verso della disequazione iniziale.
  • Inoltre, poiché i radicali hanno indice dispari, non sono necessarie condizioni di esistenza per i radicali stessi.
Trova gli errori
Vero o falso?
$\sqrt[3]{2x^2 + 1} > -1 ~\to~$
$2x^2 + 1 > - 1$
  • V
  • F
$\sqrt{2x - 1} < -2 ~\to~$
$2x - 1 < 4$
  • V
  • F
$\sqrt[3]{5x + 3} < \sqrt[3]{3x + 5} ~\to~$
$5x + 3 < 3x + 5$
  • V
  • F
$\sqrt{1-5x} > \sqrt{2 + 3x} ~~\leftrightarrow~$
$1 - 5x > 2 + 3x$
  • V
  • F
Risolvi una disequazione con radicale cubico
Risolvi la disequazione
$\sqrt[3]{2x^2 + 4x + 2} > 2$.

Completa e verifica.
Poiché l'indice $3$ della radice è dispari, possiamo elevare al cubo entrambi i membri senza porre condizioni di esistenza:
$\sqrt[3]{2x^2 + 4x + 2} > 2 \to $
$(2x^2 + 4x + 2)^3 > 8$
$2x^2 + 4x + 2 > 8$
.
Risolviamo la disequazione:
$2x^2 + 4x ~$
$+10$
$-6$
$-8$
$~ > 0 ~\to~ $ $x^2 + 2x - 3 > 0$.
$x = -1 \pm $
$2$
$4$

$x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
Le soluzioni della disequazione sono:
$x < -3 ~\lor~ x > 1$
$-3 < x < 1$
.
Risolvi una disequazione con più radicali
Risolvi la disequazione
$\sqrt{x} - \sqrt{5x - 4} \ge 0$.

Completa e verifica.
$\sqrt{x} - \sqrt{5x - 4} \ge 0$ $~\to~$
$\sqrt{x} \ge \sqrt{5x - 4}$
$\sqrt{x} \le \sqrt{5x - 4}$
$\sqrt{-x} \le \sqrt{4 - 5x}$
La disequazione è equivalente al sistema:
$ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \end{array} \right. $ $x \ge 0$
$5x - 4 \le 0$
$5x - 4 \ge 0$
.
$x \ge 5x - 4$
$x^2 \ge (5x - 4)^2$
Risolviamo il sistema.
$ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \end{array} \right. $ $x \ge 0$
$x \ge \dfrac{4}{5}$
$4x ~$
$\le$
$\ge$
$~4$
$\to$ $ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x \ge \dfrac{4}{5} \\ x \le 1 \end{array} \right. $
Le soluzioni del sistema, e quindi della disequazione data, sono:
$x \ge 1$
$0 \le x \le \dfrac{4}{5}$
$\dfrac{4}{5} \le x \le 1$
.