Con l'elevamento al quadrato
Risolviamo la disequazione
$|2x - 3| \ge |x + 4|$.
$|2x - 3| \ge |x + 4|$
$(2x - 3)^2 \ge (x + 4)^2$
$4x^2 - 12x + 9 \ge x^2 + 8x + 16$
$3x^2 - 20x - 7 \ge 0$
$x = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 + 21}}{3}$
$x_1 = -\dfrac{1}{3}$, $~x_2 = \dfrac{21}{3} = 7$.
$3x^2 - 20x - 7 \ge 0$
$x \le -\dfrac{1}{3} ~\lor~ x \ge 7$
  1. Entrambi i membri sono positivi o nulli, quindi possiamo elevarli al quadrato senza perdere soluzioni né introdurre soluzioni estranee.
  2. Svolgiamo i calcoli.
  3. Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado.
  4. La disequazione richiede che il trinomio sia positivo o nullo, quindi le sue soluzioni sono i valori esterni all'intervallo delle radici e le radici stesse.
Con la definizione di valore assoluto
Risolviamo la disequazione
$|x - 5| + |3 - 2x| < 5x$.
Utilizziamo la definizione di valore assoluto e scriviamo i due valori assoluti come funzioni definite per casi.
$ |x - 5| = \left\{ \begin{array}{lll} x - 5 & \text{se} & x \ge 5 \\ 5 - x & \text{se} & x < 5 \end{array} \right. $
$ |3 - 2x| = \left\{ \begin{array}{lll} 2x - 3 & \text{se} & x \ge \dfrac{3}{2} \\ 3 - 2x & \text{se} & x < \dfrac{3}{2} \end{array} \right. $

Studiamo i tre possibili casi.
$ \left\{ \begin{array}{l} x < \dfrac{3}{2} \\ 5 - x + 3 - 2x < 5x \end{array} \right. \lor $
$ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{2} \le x < 5 \\ 5 - x + 2x - 3 < 5x \end{array} \right. \lor $
$ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 5 \\ x - 5 + 2x - 3 < 5x \end{array} \right. $

Svolgiamo i calcoli nei tre sistemi.
$ \left\{ \begin{array}{l} x < \dfrac{3}{2} \\ x > 1 \end{array} \right. ~~~~~\lor $
$ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{2} \le x < 5 \\ x > \dfrac{1}{2} \end{array} \right. ~~~~~\lor $
$ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 5 \\ x > -4 \end{array} \right. $

Scriviamo gli insiemi delle soluzioni dei tre sistemi dopo aver rappresentato graficamente le soluzioni delle due disequazioni che li costituiscono e le soluzioni comuni.

Primo sistema
$1 < x < \dfrac{3}{2}$
Secondo sistema
$\dfrac{3}{2} \le x < 5$
Terzo sistema
$x \ge 5$

Unendo le soluzioni dei sistemi, otteniamo quelle della disequazione iniziale.
$x > 1$
Valore assoluto di una funzione
Dalla definizione di valore assoluto:
$\nearrow$   $x$ se $x \ge 0$,
$|x| = $  
$\searrow$   $-x$ se $x < 0$.
Per l'espressione analitica $f(x)$ di una funzione, ricaviamo:
$\nearrow$   $f(x)$ se $f(x) \ge 0$,
$|f(x)| = $  
$\searrow$   $-f(x)$ se $f(x) < 0$.

Per esempio,
$|3x-1| =$
  • $3x - 1$ se $x \ge \dfrac{1}{3}$, perché
    $3x - 1 \ge 0 ~\to~ x \ge \dfrac{1}{3}$,
  • $-3x + 1$ se $x < \dfrac{1}{3}$, perché
    $3x - 1 < 0 ~\to~ x < \dfrac{1}{3}$.
Proprietà
Se $k > 0$:
  • $|x| < k ~~\leftrightarrow~~ -k < x < k$;
  • $|f(x)| < k ~~\leftrightarrow~~ -k < f(x) < k$;
  • $|x| > k ~~\leftrightarrow~~ x < -k \lor x > k$;
  • $|f(x)| > k ~\leftrightarrow~ f(x) < -k \lor f(x) > k$.
Disequazioni e soluzioni
Associa alle disequazioni le loro soluzioni.
Cambia l'ordine.
  • $|x^2 - x| + |x^2 - 1| \le 0$
  • $|x - 4| + |238 - x| > 0$
  • $|x^3 - 4x - 7| + |2x^2 + x - 3| \le -1$
  • $|x + 5x^2| + |x^2 - 25| \le 0$
  • $|9 - x^2| + |x^2 + 3x| > 0$
Disequazioni
  • $x = 1$
  • $\forall x \in \mathbb{R}$
  • $\nexists x \in \mathbb{R}$
  • $x = -5$
  • $x \ne -3$
Soluzioni
È una soluzione?
Indica se le seguenti disequazioni sono verificate per i valori indicati.
Vero o falso?
$|x-3| - |x-x^2| > 3x + 1$;
$x = 2$.
  • V
  • F
$|x| \le |x^2 - 5| - x^2$;
$x = 1$.
  • V
  • F
$|x| + 4x - 5 < |7 - x|$;
$x = 7$.
  • V
  • F
$|4 - 5x| - |3 - 2x^3| \le 1 - x$;
$x = 1$.
  • V
  • F
$|2x + 1| + 3|x^2 + 7| < 22$;
$x = 0$.
  • V
  • F
Con la definizione di valore assoluto
Risolvi la disequazione
$x - 3 + |2x + 1| \le |x|$.
Completa e verifica.
Per la definizione di valore assoluto abbiamo
$ |2x + 1| = \left\{ \begin{array}{lll} 2x + 1 & \text{se} & x \ge -\dfrac{1}{2} \\ -2x - 1 & \text{se} & x < -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. , $ $ |x| = \left\{ \begin{array}{lll} x & \text{se} & x \ge 0 \\ -x & \text{se} & x < 0 \end{array} \right. . $

Dividiamo la disequazione in tre casi.
$ \left\{ \begin{array}{l} x < -\dfrac{1}{2} \\ x - 3 - 2x - 1 \le -x \end{array} \right. \lor $
$ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \end{array} \right. $ $-\dfrac{1}{2} \le x <$
$0$
$\dfrac{1}{2}$
 $\lor$
$x - 3 + 2x + 1 \le -x$
$ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \end{array} \right. $ $x \ge $
$0$
$\dfrac{1}{2}$
$x - 3 + 2x + 1 \le x$
Risolviamo separatamente i tre sistemi.

Primo sistema
$ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \end{array} \right. $ $x < -\dfrac{1}{2}$
$-4$
$-2x - 4$
$\le 0$
Non è necessario costruire lo schema grafico delle soluzioni perché una delle disequazioni è sempre verificata.
Soluzioni: $x < -\dfrac{1}{2}$.

Secondo sistema
$ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{.} \\ \phantom{.} \\ \phantom{.} \end{array} \right. $ $-\dfrac{1}{2} \le x < 0$
$x \le$
$\dfrac{1}{2}$
$-\dfrac{1}{2}$


Soluzioni: $-\dfrac{1}{2} \le x <$
$0$
$\dfrac{1}{2}$
.

Terzo sistema
$ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{array} \right. $


Soluzioni: $0 \le x \le$
$1$
$2$
.

Unendo le soluzioni dei tre sistemi, concludiamo che le soluzioni della disequazione iniziale sono:
$x \le 1$
$-\dfrac{1}{2} \le x \le 1$
.