Disequazione determinata
Risolviamo la seguente disequazione.
$ 7x + 20 > 10x - 1 $
Portiamo i termini in $x$ a primo membro e quelli senza a secondo membro.
$ 7x - 10x > -20 - 1 $
Sommiamo i monomi simili.
$-3x > -21 $
Applichiamo il secondo principio di equivalenza. Dividiamo entrambi i membri per il numero negativo $-3$, quindi cambiamo il verso della disequazione.
$x < \dfrac{-21}{-3} $
La disequazione è determinata e ha insieme delle soluzioni:
$x < 7$.
Disequazione impossibile
Risolviamo la seguente disequazione.
$5(x-1)-2x < 3x - 10 $
$5x - 5 - 2x < 3x - 10 $
$5x - 2x - 3x < 5 - 10 $
Svolti i calcoli, otteniamo la disequazione equivalente:
$0x < -5$.
Un numero qualsiasi moltiplicato per $0$ dà $0$, che non è minore di $-5$, quindi l'insieme delle soluzioni è vuoto e la disequazione è impossibile.
Disequazione sempre verificata
Risolviamo la seguente disequazione.
$\dfrac{2x+3}{4} > \dfrac{3x-1}{6}$
Moltiplichiamo entrambi i membri per $\text{mcm}(4; 6) = 12$.
$3(2x+3) > 2(3x-1)$
$6x + 9 > 6x - 2$
Portiamo i termini con $x$ a primo membro e quelli senza a secondo membro.
$6x - 6x > -9-2$
$0x > -11 $
Un numero qualsiasi moltiplicato per $0$ dà $0$, che è maggiore di $-11$, quindi l'insieme delle soluzioni è $\mathbb{R}$ e la disequazione è sempre verificata.
Per risolvere una disequazione numerica intera di primo grado, utilizziamo i principi di equivalenza fino a giungere a una delle forme seguenti:
$\boldsymbol{ax < b}$, $\boldsymbol{ax \le b}$, $\boldsymbol{ax > b}$, $\boldsymbol{ax \ge b}$.
Per l'insieme delle soluzioni, distinguiamo tre casi. La disequazione può essere:
  • determinata,
  • impossibile,
  • sempre verificata.
Per esempio, per $ax < b$,
  • se $a \ne 0$,
    la disequazione è determinata;
  • se $a = 0$ e $b = 0$ oppure $b < 0$,
    la disequazione è impossibile;
  • se $a = 0$ e $b > 0$,
    la disequazione è sempre verificata.
Una è impossibile
Una sola delle seguenti disequazioni è impossibile.
Quale?

Indica la risposta.
  • $3x - 4 \ge 3(x-4)$
  • $3x - 4 \ge 4x - 3$
  • $3(2x+1) < 6x$
  • $7x + 1 > -7x - 1$
Risolvi una disequazione
Risolvi la seguente disequazione.
$\dfrac{x+1}{4} - \dfrac{1}{2}x \le \dfrac{3}{10}x + \dfrac{1}{5}$

Completa e verifica.
$5x+5-10x$ $~\le~$ $6x + 4$
$4$
$10$
$20$
$4$
$10$
$20$
$-11$
$1$
$11$
$x \le -5 + 4$
$11x$
$\ge$
$\le$
$ 1 $
$x \ge \dfrac{1}{11}$
Risolvi un problema
Sofia entra in un negozio di abbigliamento con € $60$.
Vuole acquistare un paio di pantaloni che costano € $30$ e una giacca che costa € $40$. Su entrambi gli articoli c'è uno sconto e quello praticato sui pantaloni è doppio rispetto allo sconto sulla giacca.
Se Sofia riesce a comprare entrambi i capi di abbigliamento, qual è come minimo lo sconto praticato sulla giacca?

Completa e verifica.
Indichiamo con $x$ lo sconto sulla giacca. Lo sconto sui pantaloni è $2x$.
I prezzi scontati in euro sono i seguenti.
Pantaloni: $30 \cdot$
$2x$
$(1-2x)$
$(1+2x)$

Giacca: $40 \cdot$
$x$
$(1-x)$
$(1+x)$

La disequazione è:
$30(1-2x) + 40(1-x) \le $
$10$
$60$
$70$
$\to$
$70 ~ -$
$30$
$40$
$100$
$x \le 60$ $\to$
$-100x \le$
$-10$
$10$
$130$
$\to$
$x \ge $
$-0,1$
$0,1$
$10$
.
Lo sconto praticato sulla giacca è almeno del $10\%$.